Seminarium Geometria Algebraiczna

Rozważmy krzywą eliptyczną $E/\mathbb{Q}$ daną równaniem $y^{2}=f(x)$. W pewnych sytuacjach przydaje się znajomość liczby rozwiązań równania $y^{2}=f(x)$ modulo pewna liczba pierwsza $p$. W tym celu wprowadzamy następująca wielkość: \[ a_{p}:=p-\#\{\ (x,y)\in\mathbb{F}_{p}^{2}\ |\ y^{2}=f(x)\ \}=-\sum_{x=0}^{p-1}\left(\frac{f(x)}{p}\right), \] gdzie $\left(\frac{\cdot}{\cdot}\right)$ oznacza symbol Legendre'a. W przypadku krzywych z mnożeniem zespolonym istnieją wzory pozwalające wyliczyć $a_{p}$. Przedstawione zostaną podstawowe informacje na temat krzywych eliptycznych z mnożeniem zespolonym. Udowodnimy także wzory na $a_{p}$ w dwóch najprostszych przypadkach. Referat będzie oparty na pracy: Don Zagier, Aspects of complex multiplication.

Calabi - Yau 3 fold obtained as a crepant resolution of $S\times E/(\alpha_S \times\alpha_E)$, where $\alpha_S \in AutS$ and $\alpha_E \in AutE$ are purely nonsymplectic automorphisms is called Borcea - Voisin type. In the paper: A. Cattaneo and A. Garbagnati: generalized Borcea-Voisin Calabi-Yau 3 folds were studied for automorphisms of order 2,3,4 and 6. We shall verify formulas for the Hodge numbers using orbifold formulas introduced by Chen and Ruan (in )

Waluacja $p$-adyczna, gdzie $p$ jest pewną liczbą pierwszą, jest bardzo pożytecznym narzędziem w teorii liczb. Przydaje się przy rozwiązywaniu pewnych problemów diofantycznych, określaniu całkowitości liczb wymiernych, wyznaczaniu miejsc zerowych pewnych ciągów. Dzięki waluacji $p$-adycznej możemy zdefiniować normę $p$-adyczną (a więc również metrykę $p$-adyczną) na ciele liczb wymiernych. Po uzupełnienieniu $\mathbb{Q}$ względem tej normy otrzymujemy ciało liczb $p$-adycznych $\mathbb{Q}_p$. Jako, że jest to ciało unormowane zupełne, w sobie gęste, to możemy nad nim uprawiać analizę (badać zbieżność szeregów, zdefiniować pochodną w sposób topologiczny). Domknięcie pierścienia liczb całkowitych $\mathbb{Z}$ w $\mathbb{Q}_p$ jest nazywane pierścieniem całkowitych liczb $p$-adycznych $\mathbb{Z}_p$. Celem referatu będzie zaprezentowanie podstawowych własności waluacji $p$-adycznej, pierścienia $\mathbb{Z}_p$ i ciała $\mathbb{Q}_p$ wraz z jego porównaniem do ciała liczb rzeczywistych (które możemy zdefiniować jako uzupełnienie ciała liczb wymiernych względem wartości bezwzględnej). Podam przykłady szeregów zbieżnych w $\mathbb{Q}_p$, a także przykłady $p$-adycznych funkcji analitycznych (czyli funkcji o wartościach w $\mathbb{Q}_p$ zadanych lokalnie przez szereg potęgowy). Przedstawię różne wersje lematu Hensela, który podaje jakościowy opis waluacji $p$-adycznej wartości wielomianów i $p$-adycznych funkcji analitycznych. Na koniec zamierzam pokazać ogólny opis walucji $p$-adycznej dla wartości $p$-adycznych funkcji analitycznych określonych na $\mathbb{Z}_p$ i wywnioskować z niego opis waluacji $p$-adycznej liczb Stirlinga drugiego rodzaju, rozstrzygając dwie hipotezy postawione przez T. Amdeberhana, D. Mannę i V. Molla w 2008 r. oraz A. Berrizbeitię, L. Medinę, A. Molla, V. Molla i L. Noble'a w 2010 r.

Waluacja $p$-adyczna, gdzie $p$ jest pewną liczbą pierwszą, jest bardzo pożytecznym narzędziem w teorii liczb. Przydaje się przy rozwiązywaniu pewnych problemów diofantycznych, określaniu całkowitości liczb wymiernych, wyznaczaniu miejsc zerowych pewnych ciągów. Dzięki waluacji $p$-adycznej możemy zdefiniować normę $p$-adyczną (a więc również metrykę $p$-adyczną) na ciele liczb wymiernych. Po uzupełnienieniu $\mathbb{Q}$ względem tej normy otrzymujemy ciało liczb $p$-adycznych $\mathbb{Q}_p$. Jako, że jest to ciało unormowane zupełne, w sobie gęste, to możemy nad nim uprawiać analizę (badać zbieżność szeregów, zdefiniować pochodną w sposób topologiczny). Domknięcie pierścienia liczb całkowitych $\mathbb{Z}$ w $\mathbb{Q}_p$ jest nazywane pierścieniem całkowitych liczb $p$-adycznych $\mathbb{Z}_p$. Celem referatu będzie zaprezentowanie podstawowych własności waluacji $p$-adycznej, pierścienia $\mathbb{Z}_p$ i ciała $\mathbb{Q}_p$ wraz z jego porównaniem do ciała liczb rzeczywistych (które możemy zdefiniować jako uzupełnienie ciała liczb wymiernych względem wartości bezwzględnej). Podam przykłady szeregów zbieżnych w $\mathbb{Q}_p$, a także przykłady $p$-adycznych funkcji analitycznych (czyli funkcji o wartościach w $\mathbb{Q}_p$ zadanych lokalnie przez szereg potęgowy). Przedstawię różne wersje lematu Hensela, który podaje jakościowy opis waluacji $p$-adycznej wartości wielomianów i $p$-adycznych funkcji analitycznych. Na koniec zamierzam pokazać ogólny opis walucji $p$-adycznej dla wartości $p$-adycznych funkcji analitycznych określonych na $\mathbb{Z}_p$ i wywnioskować z niego opis waluacji $p$-adycznej liczb Stirlinga drugiego rodzaju, rozstrzygając dwie hipotezy postawione przez T. Amdeberhana, D. Mannę i V. Molla w 2008 r. oraz A. Berrizbeitię, L. Medinę, A. Molla, V. Molla i L. Noble'a w 2010 r.

Przedstawię Twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym, jego sformułowania i zastosowania w geometrii algebraicznej (II).

Podstawowe wiadomości dotyczące kategorii addytywnych i triangulowalnych na podstawie I rozdziału ksiązki D. Huybrechts: . Oxford University Press, 2006.

It is not known whether Kodaira vanishing holds for supersingular Calabi-Yau threefolds in positive characteristic. I show that some of the examples of non-liftable Calabi-Yau threefolds satisfy Kodaira vanishing in a weak sense.

Na początku referatu przypomnę pojęcie iloczynu Hadamarda szeregów potęgowych i jego podstawowe własności. Następnie, w oparciu o pracę Allouche'a i Mendesa "Hadamard grade of power series", wprowadzę definicję stopnia Hadamarda szeregu potęgowego. Podam też wybrane wyniki wiążące szeregi potęgowe o skończonym stopniu Hadamarda, między innymi z D-skończonymi szeregami potęgowymi oraz ciągami automatycznymi. Całość rozważań zostanie poparta przykładami zaczerpniętymi ze wspomnianej pracy.Na początku referatu przypomnę pojęcie iloczynu Hadamarda szeregów potęgowych i jego podstawowe własności. Następnie, w oparciu o pracę Allouche'a i Mendesa "Hadamard grade of power series", wprowadzę definicję stopnia Hadamarda szeregu potęgowego. Podam też wybrane wyniki wiążące szeregi potęgowe o skończonym stopniu Hadamarda, między innymi z D-skończonymi szeregami potęgowymi oraz ciągami automatycznymi. Całość rozważań zostanie poparta przykładami zaczerpniętymi ze wspomnianej pracy.

In this talk I will report on a GIT construction for degenerations of Hilbert schemes of points on surfaces. The motivation comes from studying degenerations of irreducible holomorphic symplectic manifolds (IHMS), where a prime examples is given by degree $n$ Hilbert schemes of $K3$ surfaces. Previously, Nagai gave a very concrete construction for degree $2$ Hilbert schemes by using ad hoc modifications of the relative Hilbert scheme. In contrast to that, Li and Wu have developed a very general theory of degenerations of Hilbert schemes (not only of $0$-cycles) using expanded degenerations. Being very general, this approach makes it hard to describe the degenerations and their geometry explicitly. Here we develop a third approach: we use GIT methods to construct degenerations of Hilbert schemes of points on surfaces (in arbitrary degree). This allows us to describe the geometry of the singular fibres very explicitly. We can further prove that, in the case of degenerations of K3 surfaces, this is leads to dlt-degenrations of the Hilbert schemes and by work of Halle and Nicaise this shows that the dual complex of the degenerate fibre coincides with the Kontsevich-Soibelman skeleton. This is joint work with M. Gulbrandsen, L. Halle and (partly) Z. Zhang.

W referacie rozważam następujące zagadnienie: dla zadanych liczb całkowitych $k,c$ chcemy znaleźć takie $n$, że $(n^2 +1 +2k)/2$ ma dwa względnie pierwsze dzielniki o sumie $n+c$. Problem ten jest naturalnym uogólnieniem zagadnienia badanego w serii prac przez Dujellę i Lucę, którzy rozważali przypadek $k=0$. Zagadnienie zostanie sprowadzone do badania równania typu Pella zależnego od parametrów $k$ i $c$. Udowodnię że dla szerokiej rodziny wartości $k,c$ istnieje nieskończenie wiele n-ów o żądanej własności, oraz że znalezienie chociaż jednego rozwiązania pozwala nam w wielu przypadkach generować kolejne. Na końcu zaprezentuję wyniki obliczeń numerycznych dla par $k$, $c$, dla których zaproponowana metoda nie daje pożądanych wyników. Ponadto przedstawię możliwe kierunki dalszej analizy.

W referacie zostanie przedstawione pojęcie algebraicznej entropii dla odwzorowań wymiernych, które zaproponowali M.P. Bellon i C.M. Viallet . Pokazane będą również przykłady obliczania entropii algebraicznej dla pewnych odwzorowań jednomianowych . Zostanie także przedstawiona hipoteza, że entropia algebraiczna każdego odwzorowania wymiernego jest liczbą algebraiczną całkowitą oraz dowód tejże hipotezy dla odwzorowań jednomianowych. Na podstawie: Hasselblatt, and J. Propp. "Degree-growth of monomial maps".

Przypomnę krótko kilka konstrukcji rozmaitości Calabi-Yau jako ilorazy rozmaitości abelowych przez działanie grupy skończonej oraz omówie specjalne własności geometryczne w przypadku potęgi kartezjanskiej (restrykcji skalarów) krzywej eliptycznej z mnożeniem zespolonym.

Wykład ma charakter wprowadzający i poświęcony jest związkom między teorią krzywych zespolonych oraz teorią rozmaitości abelowych. Pokażemy jak pewne pojęcia i konstrukcje można tłumaczyć z jednej teorii na drugą. W szczególności omówimy konstrukcje nakryć krzywych oraz odpowiadających im odwzorowań między Jakobianami.