Rozważmy krzywą eliptyczną $E/\mathbb{Q}$ daną równaniem $y^{2}=f(x)$. W pewnych sytuacjach przydaje się znajomość liczby rozwiązań równania $y^{2}=f(x)$ modulo pewna liczba pierwsza $p$. W tym celu wprowadzamy następująca wielkość: \[ a_{p}:=p-\#\{\ (x,y)\in\mathbb{F}_{p}^{2}\ |\ y^{2}=f(x)\ \}=-\sum_{x=0}^{p-1}\left(\frac{f(x)}{p}\right), \] gdzie $\left(\frac{\cdot}{\cdot}\right)$ oznacza symbol Legendre'a. W przypadku krzywych z mnożeniem zespolonym istnieją wzory pozwalające wyliczyć $a_{p}$. Przedstawione zostaną podstawowe informacje na temat krzywych eliptycznych z mnożeniem zespolonym. Udowodnimy także wzory na $a_{p}$ w dwóch najprostszych przypadkach. Referat będzie oparty na pracy: Don Zagier, Aspects of complex multiplication.

The duality of Schubert calculus allows one to present any class on a Grassmannian as a $\mathbb Z$-combination of Schubert classes. We state and prove a duality theorem on a Grassmann bundle using the Gysin map and skew Schur functions. We also give new Gysin formulas for flag and Schubert bundles which lead to interesting applications, e.g. to a new derivation of the Kempf-Laksov formula. This is a joint work with Lionel Darondeau.

Calabi - Yau 3 fold obtained as a crepant resolution of $S\times E/(\alpha_S \times\alpha_E)$, where $\alpha_S \in AutS$ and $\alpha_E \in AutE$ are purely nonsymplectic automorphisms is called Borcea - Voisin type. In the paper: A. Cattaneo and A. Garbagnati: generalized Borcea-Voisin Calabi-Yau 3 folds were studied for automorphisms of order 2,3,4 and 6. We shall verify formulas for the Hodge numbers using orbifold formulas introduced by Chen and Ruan (in )

Waluacja $p$-adyczna, gdzie $p$ jest pewną liczbą pierwszą, jest bardzo pożytecznym narzędziem w teorii liczb. Przydaje się przy rozwiązywaniu pewnych problemów diofantycznych, określaniu całkowitości liczb wymiernych, wyznaczaniu miejsc zerowych pewnych ciągów. Dzięki waluacji $p$-adycznej możemy zdefiniować normę $p$-adyczną (a więc również metrykę $p$-adyczną) na ciele liczb wymiernych. Po uzupełnienieniu $\mathbb{Q}$ względem tej normy otrzymujemy ciało liczb $p$-adycznych $\mathbb{Q}_p$. Jako, że jest to ciało unormowane zupełne, w sobie gęste, to możemy nad nim uprawiać analizę (badać zbieżność szeregów, zdefiniować pochodną w sposób topologiczny). Domknięcie pierścienia liczb całkowitych $\mathbb{Z}$ w $\mathbb{Q}_p$ jest nazywane pierścieniem całkowitych liczb $p$-adycznych $\mathbb{Z}_p$. Celem referatu będzie zaprezentowanie podstawowych własności waluacji $p$-adycznej, pierścienia $\mathbb{Z}_p$ i ciała $\mathbb{Q}_p$ wraz z jego porównaniem do ciała liczb rzeczywistych (które możemy zdefiniować jako uzupełnienie ciała liczb wymiernych względem wartości bezwzględnej). Podam przykłady szeregów zbieżnych w $\mathbb{Q}_p$, a także przykłady $p$-adycznych funkcji analitycznych (czyli funkcji o wartościach w $\mathbb{Q}_p$ zadanych lokalnie przez szereg potęgowy). Przedstawię różne wersje lematu Hensela, który podaje jakościowy opis waluacji $p$-adycznej wartości wielomianów i $p$-adycznych funkcji analitycznych. Na koniec zamierzam pokazać ogólny opis walucji $p$-adycznej dla wartości $p$-adycznych funkcji analitycznych określonych na $\mathbb{Z}_p$ i wywnioskować z niego opis waluacji $p$-adycznej liczb Stirlinga drugiego rodzaju, rozstrzygając dwie hipotezy postawione przez T. Amdeberhana, D. Mannę i V. Molla w 2008 r. oraz A. Berrizbeitię, L. Medinę, A. Molla, V. Molla i L. Noble'a w 2010 r.

W referacie przedstawimy przegląd wyników dotyczących skończoności liczby rozwiązań całkowitych pewnych równań diofantycznych o zmiennych rozdzielonych f(x) = g(y). Omówimy zastosowanie metody Bilu-Tichy'ego do postawionego problemu. Metoda ta sprowadza wyjściowy problem do badania dekompozycji wielomianów tzn. równań postaci f(x) = g(h(x)). Omówimy klasyczne twiredzenia Ritta o dekompozycji oraz wyniki Zanniera i Schinzla dotyczące oszacowań liczby niezerowych współczynników wielomianów spełniających równość f(x) = g(h(x)). Omówimy również podejście do problemu przy pomocy teorii Galoisa. Na koniec pokażemy nowe wyniki dotyczące równań o zmiennych rozdzielonych w których f ma co najwyżej 4 niezerowe współczynniki zaś g jest tzw. rzadkim wielomianem.

Waluacja $p$-adyczna, gdzie $p$ jest pewną liczbą pierwszą, jest bardzo pożytecznym narzędziem w teorii liczb. Przydaje się przy rozwiązywaniu pewnych problemów diofantycznych, określaniu całkowitości liczb wymiernych, wyznaczaniu miejsc zerowych pewnych ciągów. Dzięki waluacji $p$-adycznej możemy zdefiniować normę $p$-adyczną (a więc również metrykę $p$-adyczną) na ciele liczb wymiernych. Po uzupełnienieniu $\mathbb{Q}$ względem tej normy otrzymujemy ciało liczb $p$-adycznych $\mathbb{Q}_p$. Jako, że jest to ciało unormowane zupełne, w sobie gęste, to możemy nad nim uprawiać analizę (badać zbieżność szeregów, zdefiniować pochodną w sposób topologiczny). Domknięcie pierścienia liczb całkowitych $\mathbb{Z}$ w $\mathbb{Q}_p$ jest nazywane pierścieniem całkowitych liczb $p$-adycznych $\mathbb{Z}_p$. Celem referatu będzie zaprezentowanie podstawowych własności waluacji $p$-adycznej, pierścienia $\mathbb{Z}_p$ i ciała $\mathbb{Q}_p$ wraz z jego porównaniem do ciała liczb rzeczywistych (które możemy zdefiniować jako uzupełnienie ciała liczb wymiernych względem wartości bezwzględnej). Podam przykłady szeregów zbieżnych w $\mathbb{Q}_p$, a także przykłady $p$-adycznych funkcji analitycznych (czyli funkcji o wartościach w $\mathbb{Q}_p$ zadanych lokalnie przez szereg potęgowy). Przedstawię różne wersje lematu Hensela, który podaje jakościowy opis waluacji $p$-adycznej wartości wielomianów i $p$-adycznych funkcji analitycznych. Na koniec zamierzam pokazać ogólny opis walucji $p$-adycznej dla wartości $p$-adycznych funkcji analitycznych określonych na $\mathbb{Z}_p$ i wywnioskować z niego opis waluacji $p$-adycznej liczb Stirlinga drugiego rodzaju, rozstrzygając dwie hipotezy postawione przez T. Amdeberhana, D. Mannę i V. Molla w 2008 r. oraz A. Berrizbeitię, L. Medinę, A. Molla, V. Molla i L. Noble'a w 2010 r.

I will discuss the Lefschetz Fixed Point Theorem, its formulations and applications in algebraic geometry.

I will discuss the Lefschetz Fixed Point Theorem, its formulations and applications in algebraic geometry (II).

Podstawowe wiadomości dotyczące kategorii addytywnych i triangulowalnych na podstawie I rozdziału ksiązki D. Huybrechts: . Oxford University Press, 2006.

Podstawowe wiadomości dotyczące kategorii addytywnych i triangulowalnych na podstawie I rozdziału ksiązki D. Huybrechts: . Oxford University Press, 2006.

It is not known whether Kodaira vanishing holds for supersingular Calabi-Yau threefolds in positive characteristic. I show that some of the examples of non-liftable Calabi-Yau threefolds satisfy Kodaira vanishing in a weak sense.

Already known examples of non-liftable Calabi-Yau threefolds in positive characteristic are mostly simply connected and fundamental groups of other examples are not known. I show an example of non-simply connected non-liftable Calabi-Yau threefold, which is obtained by taking a quotient of a group action on Schroeer's variety.

Na początku referatu przypomnę pojęcie iloczynu Hadamarda szeregów potęgowych i jego podstawowe własności. Następnie, w oparciu o pracę Allouche'a i Mendesa "Hadamard grade of power series", wprowadzę definicję stopnia Hadamarda szeregu potęgowego. Podam też wybrane wyniki wiążące szeregi potęgowe o skończonym stopniu Hadamarda, między innymi z D-skończonymi szeregami potęgowymi oraz ciągami automatycznymi. Całość rozważań zostanie poparta przykładami zaczerpniętymi ze wspomnianej pracy.Na początku referatu przypomnę pojęcie iloczynu Hadamarda szeregów potęgowych i jego podstawowe własności. Następnie, w oparciu o pracę Allouche'a i Mendesa "Hadamard grade of power series", wprowadzę definicję stopnia Hadamarda szeregu potęgowego. Podam też wybrane wyniki wiążące szeregi potęgowe o skończonym stopniu Hadamarda, między innymi z D-skończonymi szeregami potęgowymi oraz ciągami automatycznymi. Całość rozważań zostanie poparta przykładami zaczerpniętymi ze wspomnianej pracy.

>Na początku referatu przypomnę pojęcie iloczynu Hadamarda szeregów potęgowych i jego podstawowe własności. Następnie, w oparciu o pracę Allouche'a i Mendesa "Hadamard grade of power series", wprowadzę definicję stopnia Hadamarda szeregu potęgowego. Podam też wybrane wyniki wiążące szeregi potęgowe o skończonym stopniu Hadamarda, między innymi z D-skończonymi szeregami potęgowymi oraz ciągami automatycznymi. Całość rozważań zostanie poparta przykładami zaczerpniętymi ze wspomnianej pracy.

In this talk I will report on a GIT construction for degenerations of Hilbert schemes of points on surfaces. The motivation comes from studying degenerations of irreducible holomorphic symplectic manifolds (IHMS), where a prime examples is given by degree $n$ Hilbert schemes of $K3$ surfaces. Previously, Nagai gave a very concrete construction for degree $2$ Hilbert schemes by using ad hoc modifications of the relative Hilbert scheme. In contrast to that, Li and Wu have developed a very general theory of degenerations of Hilbert schemes (not only of $0$-cycles) using expanded degenerations. Being very general, this approach makes it hard to describe the degenerations and their geometry explicitly. Here we develop a third approach: we use GIT methods to construct degenerations of Hilbert schemes of points on surfaces (in arbitrary degree). This allows us to describe the geometry of the singular fibres very explicitly. We can further prove that, in the case of degenerations of K3 surfaces, this is leads to dlt-degenrations of the Hilbert schemes and by work of Halle and Nicaise this shows that the dual complex of the degenerate fibre coincides with the Kontsevich-Soibelman skeleton. This is joint work with M. Gulbrandsen, L. Halle and (partly) Z. Zhang.

Celem referatu jest przedstawienie przestrzeni rzutowej ważonej $\mathbb{P}(q_{0},...,q_{n})$ będącej uogólnieniem klasycznej przestrzeni rzutowej $\mathbb{P}^{n}$. Możemy równoważnie określić przestrzeń rzutową ważoną poprzez konstrukcję $\mathrm{Proj}$ zastosowaną do algebry pierścienia wielomianów $S(q_{0},...,q_{n})$ z odpowiednio ważoną gradacją, jako iloraz $\mathbb{A}^{n+1}\setminus \lbrace0\rbrace$ przez analogicznie ważone działanie grupy multiplikatywnej ciała (traktowane jako działanie 1-wymiarowego algebraicznego torusa na $\mathrm{Spec}S(q_{0},...,q_{n})$), czy przez iloraz $\mathbb{P}^{n}/\mu_{Q}$ względem odpowiadającego działania grupy $\mu_{Q}=\mu_{q_{0}}\oplus...\oplus\mu_{q_{n}}$, gdzie $\mu_{q_{i}}$ to grupa pierwiastków z jedynki stopnia $q_i$. Omówimy podstawowe własności $\mathbb{P}(q_{0},...,q_{n})$, takie jak charakteryzację osobliwości, izomorfizm $\mathbb{P}(q_{0},...,q_{n})\cong \mathbb{P}^{n}$, gdy $\mathbb{P}(q_{0},...,q_{n})$ jest nieosobliwa oraz problem izomorfizmu $\mathbb{P}(q_{0},...,q_{n})\cong \mathbb{P}(q^{'}_{0},...,q^{'}_{n})$ dla różnych zestawów wag.

W referacie rozważam następujące zagadnienie: dla zadanych liczb całkowitych $k,c$ chcemy znaleźć takie $n$, że $(n^2 +1 +2k)/2$ ma dwa względnie pierwsze dzielniki o sumie $n+c$. Problem ten jest naturalnym uogólnieniem zagadnienia badanego w serii prac przez Dujellę i Lucę, którzy rozważali przypadek $k=0$. Zagadnienie zostanie sprowadzone do badania równania typu Pella zależnego od parametrów $k$ i $c$. Udowodnię że dla szerokiej rodziny wartości $k,c$ istnieje nieskończenie wiele n-ów o żądanej własności, oraz że znalezienie chociaż jednego rozwiązania pozwala nam w wielu przypadkach generować kolejne. Na końcu zaprezentuję wyniki obliczeń numerycznych dla par $k$, $c$, dla których zaproponowana metoda nie daje pożądanych wyników. Ponadto przedstawię możliwe kierunki dalszej analizy.

In this talk, i will speak about a joint work with C. Camere and A. Garbagnati. We analyze which calabi yau manifolds can be obtained as resolution of quotients of hyperkahler manifolds by non symplectic automorphism. More specifically, we will deal with the case of fourfolds modulo an involution, which gives a wide range of examples. In the natural case, we also compute the Hodge numbers of the Calabi Yau manifolds.

W referacie zostanie przedstawione pojęcie algebraicznej entropii dla odwzorowań wymiernych, które zaproponowali M.P. Bellon i C.M. Viallet . Pokazane będą również przykłady obliczania entropii algebraicznej dla pewnych odwzorowań jednomianowych . Zostanie także przedstawiona hipoteza, że entropia algebraiczna każdego odwzorowania wymiernego jest liczbą algebraiczną całkowitą oraz dowód tejże hipotezy dla odwzorowań jednomianowych. Na podstawie: Hasselblatt, and J. Propp. "Degree-growth of monomial maps".

Niezmienniki Gromova-Wittena pokazują, że na powierzchni abelowej z polaryzacją typu (1,4) istnieją krzywe hipereliptyczne genusu 5. W referacie skonstruujemy te krzywe na dwa sposoby: za pomocą funkcji theta oraz jako poczwórne nakrycia krzywych genusu 2 z grupą monodromii Kleina. Dzięki temu otrzymujemy twierdzenie w teorii krzywych, że takie nakrycia są hipereliptyczne. Ponadto opiszemy podrozmaitości abelowe ich Jakobianów. Powyższe wyniki powstały we współpracy z dr Angelą Ortegą.

I will shortly review some constructions of Calabi-Yau threefolds as quotients of abelian varieties and indicate special geometric properties in the spacial case of a power (restriction of scalars) of elliptic curve with CM.

W 2003 roku Jerald Joseph Kovacic opublikował bardzo ważną pracę "The differential Galois theory of strongly normal extensions", w której zrekonstruował teorię Kolchina rozszerzeń mocno normalnych. Kolchin w swoich pracach i monografii "Differential Algebra and Algebraic Groups" posłużył się formalizmem geometrii algebraicznej rozwiniętym przez Andre Weila. Formalizm ten w latach późniejszych został zastąpiony przez teorię schematów Grothendiecka. Teoria Kolchina pomimo wielu interesujących odkryć w algebraicznej teorii równań różniczkowych nie zdobyła dużej popularności. Kovacic wykorzystując język nowoczesnej algebry zdołał znacznie uprościć teorię Kolchina w szczególności jego wizję różniczkowej teorii Galois. W referacie przedstawię teorię Galois w ujęciu Kovacica opartą na pomysłowym wykorzystaniu różniczkowych iloczynów tensorowych oraz jej pewne zastosowania. W szczególności skupię się na intrygującym związku różniczkowej teorii Galois z Hipotezą Jakobianową.

Wykład ma charakter wprowadzający i poświęcony jest związkom między teorią krzywych zespolonych oraz teorią rozmaitości abelowych. Pokażemy jak pewne pojęcia i konstrukcje można tłumaczyć z jednej teorii na drugą. W szczególności omówimy konstrukcje nakryć krzywych oraz odpowiadających im odwzorowań między Jakobianami.

In the first part of the talk, I will discuss a recent result limiting divisibilities among nodal curves on smooth projective surfaces. The second part concerns an application to Enriques surfaces admitting maximal configurations of smooth rational curves. In particular, I will study the moduli of these Enriques surfaces and work out applications to good reduction, both for Enriques and K3 surfaces.