Seminarium Geometria Algebraiczna

Po krótkim wprowadzeniu i przypomnieniu faktów omówionych na seminarium w dniu 22.05.2017 opiszę jak forma symplektyczna 'Weil pairing' wpływa na własności nakryć krzywych. W szczególności, pokażę, że warunkiem koniecznym na to by nakrycie krzywej genusu 2 z grupą monodromii Kleina było hipereliptyczne jest by forma symplektyczna zacieśniona do grupy była niezdegenerowana.

Mając dany szereg formalny $F$, możemy (w niektórych przypadkach) rozważać jego formalną odwrotność, czyli taki szereg $G$, dla którego spełniona jest równość $F(G(X)) = G(F(X)) = X$. Jeżeli współczynniki $F$ są wyrazami pewnego ciągu automatycznego, to z twierdzenia Christola wynika, że współczynniki $G$ również zadają ciąg automatyczny - taki ciąg nazwiemy formalną odwrotnością wyjściowego ciągu. Podczas mojego referatu skupię się na ciągu Thue'go-Morse'a oraz ciągu Bauma-Sweeta. Formalna odwrotność ciągu Thue'go-Morse'a została już szczegółowo zbadana w pracy dr. hab. Macieja Ulasa i dr. Macieja Gawrona. Ciąg Bauma-Sweeta znacznie różni się od ciągu Thue'go-Morse'a, a mimo tego ich formalne odwrotności mają bardzo podobne własności, co postaram się przedstawić na moim referacie, wraz z pewnymi uogólnieniami.

Celem referatu będzie przeglądowe przedstawienie pierścienia funkcji wymiernych posiadających ciągłe przedłużenie na całą rzeczywistą przestrzeń afiniczną, bądź ogólniej, rozszerzenie klasy $\mathcal{C}^{k}$ na cały gładki zbiór algebraiczny rzeczywisty. W szczególności zajmiemy się badaniem problemu noetherowskości dla pierścieni funkcji takiej klasy dla gładkich rozmaitości algebraicznych rzeczywistych.

Sztywna rozmaitość Calabi-Yau posiada zespolony element objętości, którego całki wzdłuż 3-cykli tworzą kratę podobną do kraty okresów krzywej eliptycznej. Przedstawię numeryczne obliczenia pwenych całek okresów podwójnych oktyk Calabi-Yau oraz konsekwencji arytmetycznych (np. związków ze specjalnymi L-wartościami).

In this talk, I will describe an isomorphism between the moduli space of smooth cubic threefolds, as described by Allcock, Carlson and Toledo, and the moduli space of fourfolds of K3^[2]-type with a special non-symplectic automorphism of order three; then, I will focus on some consequences of this isomorphism concerning degenerations of non-symplectic automorphisms. This is a joint work in progress with S. Boissière and A. Sarti.

Niech $A$ będzie podzbiorem zbioru liczb naturalnych. Wówczas definiujemy jego zbiór ilorazów jako $$R(A)=\left\{\frac{a}{b}: a,b\in A, b\neq 0\right\}.$$ Zagadnienie gęstości zbiorów postaci $R(A)$, gdzie $A\subset\mathbb{N}$, w zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych zostało dokładnie przebadane. W przeciwieństwie do niego, tematyka gęstości zbiorów ilorazów w ciałach liczb $p$-adycznych wciąż posiada wiele pytań otwartych. Pierwsze obszerne badania w tej dziedzinie zostały przeprowadzone w pracy S. R. Garcii, Y. X. Honga, F. Luki, E. Pinsker, C. Sanny, E. Schechtera i A. Starra, {\it $p$-adic quotient sets}, Acta Arith. 179 (2017), 163-184. Jej autorzy postawili pytanie o istnienie zbiorów rozłącznych $A$ i $B$ takich, że $A\cup B=\mathbb{N}$, a zbiory $R(A)$ i $R(B)$ nie są gęste w $\mathbb{Q}_p$ dla jakiejkolwiek liczby pierwszej $p$. Celem referatu będzie wykazanie, że dla dowolnego skończonego podziału zbioru liczb naturalnych istnieje element tego podziału, który jest gęsty w pierścieniu całkowitych liczb $p$-adycznych dla wszystkich liczb pierwszych $p$ poza skończenie wieloma wyjątkami i wyznaczę maksymalną liczbę tych wyjątków w zależności od liczby zbiorów stanowiących rozbicie $\mathbb{N}$. To pozwoli nam uzyskać przeczącą odpowiedż na wyżej postawione pytanie. Poza tym, wyznaczę maksymalną liczbę liczb pierwszych $p$ dla których żaden element podziału zbioru $\mathbb{N}$ na $k$ podzbiorów nie posiada zbioru ilorazów gęstego w $\mathbb{Q}_p$. Wyniki pochcodzą ze wspólnej pracy z Carlo Sanną.

Podczas wykładu przedstawię czym są motywy hipergeometryczne zdefiniowane przez Nicolasa Katza. Przedstawię konstrukcję motywów geometrycznych jako motywów Chow konkretnych rozmaitości algebraicznych. Klasa motywów hipergeometrycznych odpowiada równaniom różniczkowym Picarda-Fuchsa typu hipergeometrycznego i stanowi bogatą klasę czystych motywów z interesującymi L-funkcjami. Wykorzystując niedawne wyniki Beukersa-Cohena-Mellita opiszę jak skonstruować motyw hipergeometryczny wagi 0 lub 2 jako podmotyw pochodzący od powierzchni eliptycznych lub hipereliptycznych. Zastosowaniem będzie obliczanie wielomianów minimalnych szeregów hipergeometrycznych ze skończoną grupą monodromii i dowód pewnych tożsamości pomiędzy różnymi typami hipergeometrycznych sum skończonych, które odpowiadają klasycznym tożsamościom.

The celebrated proof of the Hartshorne conjecture by Shigefumi Mori allowed for the study of the geometry of higher dimensional varieties through the analysis of deformations of rational curves. One of the many applications of Mori's results was Lazarsfeld's positive answer to the conjecture of Remmert and Van de Ven which states that the only smooth variety that the projective space can map surjectively onto is the projective space itself. Motivated by this result, a similar problem has been considered for other kinds of varieties such as abelian varieties (Demailly-Hwang-Mok-Peternell) or toric varieties (Occhetta-Wiśniewski). In my talk, I would like to present a completely new perspective on the problem coming from the study of Frobenius lifts in positive characteristic. This is based on a joint project with Jakub Witaszek (Imperial College London) and Maciej Zdanowicz (EPFL).

Wprowadzę pojęcia punktu regularnego oraz punktu osobliwego regularnego równania różniczkowego zwyczajnego rzędu $n$ oraz układu równań różniczkowych liniowych. Przedstawię twierdzenia Fuchsa charakteryzujące powyższe pojęcia w terminach macierzy fundamentalnej rozwiązań. Podam definicję wykładników lokalnych w punktach regularnych osobliwych, ich charakteryzację za pomocą tzw. indicial equation oraz relację Fuchsa wiążące wykłądniki lokalne we wszystkich punktach regularnych osobliwych równania typu Fuchsa.

Na podstawie notatek F. Beukersa

Omówię 24 rozwiązania równania hipergeometrycznego podane przez Kummera. Zdefiniuję grupę monodromii równania hipergeometrycznego oraz omówię jej podstawowe własności.

Na podstawie notatek F. Beukersa

W czasie referatu zaprezentuję pewne zastosowania potrójnego iloczynu Jacobiego. Między innymi wyprowadzę dokładny wzór na liczbę przedstawień ustalonej liczby naturalnej na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych oraz pokażę, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ zachodzi kongruencja $p(5n+4)\equiv 0 \pmod 5$, gdzie $p(n)$ jest funkcją partycji. Jeśli czas pozwoli, pokażę wzór Heinego i wzór iloczynowy Ramanujana i ich zastosowanie do znalezienia wzoru na liczbę przedstawień ustalonej liczby naturalnej na sumę czterech kwadratów liczb całkowitych.

Przedmiotem referatu będą punkty okresowe endomorfizmów rozmaitości abelowych nad ciałem dodatniej charakterystyki oraz zliczająca je dynamiczna funkcja zeta (wprowadzona przez Artina i Mazura). Pytanie to uogólnia szczególny przypadek rozmaitości nad ciałem skończonym oraz endomorfizmu Frobeniusa, dla którego dynamiczna funkcja zeta jest po prostu zwykłą (arytmetyczną) funkcją zeta rozmaitości algebraicznej. Wykażemy, że w ogólnym przypadku dynamiczna funkcja zeta jest wymierna lub przestępna, a pierwsza z tych możliwości zachodzi dokładnie wtedy, gdy działanie endomorfizmu na lokalnym p-torsyjnym podschemacie grupowym jest nilpotentne. Odpowiemy również na pytania związane z istnieniem przedłużenia analitycznego funkcji zeta oraz asymptotyczną liczbą punktów okresowych i analogonami Twierdzenia o Liczbach Pierwszych. Referat oparty jest o wspólną pracę z Guntherem Cornelissenem.

The generalized Franchetta conjecture as formulated by O’Grady is about algebraic cycles on the universal K3 surface. It is natural to consider a similar conjecture for algebraic cycles on universal families of hyperkaehler varieties. This has close ties to Beauville’s conjectural ``splitting property’’, and the Beauville-Voisin conjecture (stating that the Chow ring of a hyperkaehler variety has a certain subring injecting into cohomology). In my talk, I will attempt to give an overview of these conjectures, and present some cases where they can be proven. This is joint work with Lie Fu, Charles Vial and Mingmin Shen.

The problem of classifying unexpected hypersurfaces generalizes the problem addressed for linear systems of curves in the projective plane by the SHGH Conjecture. The occurrence of unexpected hypersurfaces is related to properties of hyperplane arrangements, especially those arising as the hyperplanes normal to the roots of a root system. This talk will, from an algebraic geometric perspective, describe unexpected hypersurfaces, their connections to root systems, and recent work in this area.

We present a new construction of mirror pairs of Calabi-Yau manifolds by smoothing normal crossing varieties, consisting of two quasi-Fano manifolds. We introduce a notion of mirror pairs of quasi-Fano manifolds with anticanonical Calabi-Yau fibrations using recent conjectures about Landau-Ginzburg models. Utilizing this notion, we give pairs of normal crossing varieties and show that the pairs of smoothed Calabi-Yau ma nifolds satisfy the Hodge number relations of mirror symmetry. We consider quasi-Fano threefolds that are some blow-ups of Gorenstein toric Fano threefolds and build 6518 mirror pairs of Calabi-Yau threefolds, including 79 self-mirrors.