One can show that maximal number of $A_2$–configurations on an Enriques surface is four. In my talk I will classify all Enriques surfaces with four $A_2$–configurations. In particular I will show that they form two families in the moduli of Enriques surfaces and I will construct open Enriques surfaces with fundamental groups $(\mathbb Z/3\mathbb Z)^{⊕2} × \mathbb Z/2\mathbb Z$ and $\mathbb Z/6\mathbb Z$, completing the picture of the $A_2$–case and answering a question put by Keum and Zhang. (joint work with M. Schuett/LUH Hannover)

The Waldschmidt constant of a homogeneous ideal in the projective space is the asymptotic counterpart of the initial degree. Computing the value of the Waldschmidt constant is a hard task in general. In case of generic points in the projective plane it is equivalent to an open Nagata conjecture. We will give some examples describing the nature of the problems we are studying and show an upper bound for the Waldschmidt constants in terms of the asymptotic Hilbert polynomial. The bound is given by a root of a suitable differential of a certain polynomial associated with the asymptotic Hilbert polynomial. Joint work with M. Dumnicki and H. Tutaj-Gasinska.

C. Borcea and C. Voisin (independly) constructed a class of Calabi--Yau threefolds as a resolution of a quotient of a product of elliptic curve and K3 surface, this construction is based on a classification of K3 surfaces with non-symplectic involution due to V. Nikulin. I will present original construction and its generalization from the paper Andrea Cattaneo, Alice Garbagnati, Calabi--Yau 3-folds of Borcea--Voisin type and elliptic fibrations, arXiv:1312.3481 [math.AG]

H. Whitney showed that a general smooth mapping $F:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ has only two-folds and simple cusps as singularities. I will consider polynomial mappings $F:\mathbb{C}^2\rightarrow\mathbb{C}^2$ of fixed bidegree $(d_1,d_2)$. I will show that a general mapping has only two-folds and simple cusps, give an exact formula for the number of cusps, show that the critical set is a smooth curve and compute its genus. Then I will show how to generalize these results to higher dimensions. This is joint work with Z. Jelonek and M.A.S. Ruas.

C. Borcea and C. Voisin (independly) constructed a class of Calabi--Yau threefolds as a resolution of a quotient of a product of elliptic curve and K3 surface, this construction is based on a classification of K3 surfaces with non-symplectic involution due to V. Nikulin. I will present original construction and its generalization from the paper Andrea Cattaneo, Alice Garbagnati, Calabi--Yau 3-folds of Borcea--Voisin type and elliptic fibrations, arXiv:1312.3481 [math.AG]

A sufficient condition for the local - to - global principle for abelian varieties will be discussed. The methods of proof combine representation theory, transcendental methods and properties of the reduction map. If time permits I will also discuss some generalizations of this to etale $K$-theory of curves. The talk is based on two joint papers with Grzegorz Banaszak.

Niech $M$ będzie zwartą, spójną rozmaitością Riemanna o krzywiźnie sekcyjnej równej zero, tzw. rozmaitością plaska. Na wykładzie omówimy własności grupy $Aff(M)=\{f:M⟶M|f \text { afiniczny izomorfizm }\}$. Pokażemy kiedy jest ona skończona. Ponadto podamy przykład $M$ dla którego $Aff(M)$ jest grupą trywialną.

Krzywe hipereliptyczne na powierzchniach abelowych indukują interesujące konfiguracje krzywych wymiernych na powierzchniach Kummera. Podamy charakteryzację gładkich krzywych hipereliptycznych, które da się zanurzyć w powierzchni abelowej. W zależności od genusu krzywej, jedyne możliwości to krzywe eliptyczne, krzywe genusu 2, krzywe genusu 3, które są podwójnymi nakryciami krzywej genusu 2, krzywe genusu 4, których Jakobian zawiera podpowierzchnię abelową z indukowaną polaryzacją typu (1,3) oraz krzywe genusu 5, które są poczwórnymi nakryciami krzywej genusu 2 z grupą automorfizmów nakrycia izomorficzną z $Z_2\times Z_2$. W każdym z przypadków pokażemy odpowiadającą mu konfigurację na powierzchniach Kummera.

Mając dane liczby $a,c\in\mathbb N$ i $b\in\mathbb Z$ pokażemy istnienie stałej $d$ zależnej od $a,b,c$ takiej, że liczba rozwiązań równania $ap+b=cq$ w liczbach pierwszych $p,q$ dla $ p < x $ jest ograniczona od góry przez $dx/(\log x)^{2}$. Posłuży nam to do uogólnienia rezulatatu F. Beukersa, F. Luci i F. Oorta mówiącego, że równanie $\sigma (n)=m^{r}$ ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych $m,n$ dla każdego $r\in\mathbb N$, gdzie $\sigma (n)$ oznacza sumę dzielników liczby $n$.

Kwestia istnienia nieskończenie wielu n-tek liczb wymiernych mających równe sumy i równe iloczyny (bądź inne podstawowe wielomiany symetryczne) była poruszana w pracach wielu autorów (Schinzel, Kelly, Zang i Cai). Korzystając z teorii krzywych eliptycznych wskażę łatwe do sprawdzenia warunki, których spełnienie przez liczby $\left( a,b,c \right)$ gwarantuje istnienie nieskończenie wielu rozwiązań wymiernych układu $$\begin{cases} x+y+z=a+b+c \\ xyz=abc \end{cases}.$$ Jako wniosek podam podobne warunki dla układu $$\begin{cases} x+y+z=a+b+c \\ x^3+y^3+z^3=a^3+b^3+c^3 \end{cases}.$$ Referat przygotowany na podstawie pracy G. Moreland, M. Zieve: $\textit{Some Diophantine equations related to positive-rank elliptic curves}$.

Opowiem o rozmaitościach hiperkahlerowskich jednych z najbardziej tajemniczych obiektów w geometrii algebraicznej. Zacznę od ich definicji i omówienia podstawowych własności, następnie przedstawię kilka geometrycznych konstrukcji takich rozmaitości. W referacie zamierzam nawiązać do moich prac wspólnych z A. Ilievem, G. Kapustką i K. Ranestadem.

We wspólnej pracy z Berndem Sturmfelsem, Emanuelem Vantura, Hyunsook Moon badamy rozkłady jednorodnych form w trzech zmiennych jako sum potęg form liniowych nad ciałem liczb rzeczywistych. Elementarne pytania okazują się być powiązane z bardzo ciekawą geometrią - np. poprzez rozmaitości trójwymiarowe typu Fano, oraz algebrą - np. poprzez hiperwyznaczniki. Podczas wykładu mam nadzieję przedstawić nowe wyniki dotyczące nawet tak prostych obiektów jak symetryczne macierze 2 x 2 o wpisach rzeczywistych, poprzez kubiki w trzech zmiennych, a zakończyć na równaniach wyższego stopnia - gdzie większość pytań na które chcielibyśmy znać odpowiedź pozostaje otwarta.

Dla liczb naturalnych r, n definiujemy r-nieporządek zbioru $n+r$-elementowego jako permutację tego zbioru taką, że nie ma ona punktów stałych i elementy $1,2,\dots,r$ znajdują się w (parami) rozłącznych cyklach. $n$-tą liczbą $r$-nieporządków $D_r(n)$ nazywamy liczbę wszystkich $r$-nieporządków zbioru $n+r$-elementowego. Jeśli $r=0$, to ciąg $(D_r(n))_{n\in\mathbb{N}}=(D(n))_{n\in\mathbb{N}}$ jest ciągiem liczb klasycznych nieporządków, którego własności omawiałem w poprzednim roku akademickim. W niniejszym referacie uogólnię te własności na klasę ciągów $(D_r(n))_{n\in\mathbb{N}}$, gdzie $r\in\mathbb{N}$. Mianowicie, podam wzory na funkcje tworzące tych ciągów, tożsamości kombinatoryczne (w tym wzór jawny), asymptotykę, okresowość ciągów reszt modulo $d$ (gdzie $d\in\mathbb{N}, n\geq 2$), dzielniki i waluacje $p$-adyczne. Referat zamierzam zakończyć wynikiem dotyczącym skończoności zbioru rozwiązań równania diofantycznego $D_r(n)=q\cdot m!$, gdzie $r\in\mathbb{N}_+ $ i $ q\in\mathbb{Q}_+$ są ustalone, a $n,m\in\mathbb{N}_+$ są niewiadomymi.

Absolutna grupa Galois ciała liczbowego jest jednym z podstawowych pojęć algebraicznej teorii liczb. Okazuje się, że jako abstrakcyjna grupa topologiczna determinuje ona to ciało liczbowe z dokładnością do izomorfizmu. Co więcej, dowolny izomorfizm topologiczny tych grup pochodzi od algebraicznego izomorfizmu ciał. Jest to treść twierdzenia Neukircha-Uchidy, którego szkic dowodu przedstawię podczas referatu. Opowiem również w jaki sposób twierdzenie to wiąże się z pojęciem etalnej grupy podstawowej i zagadnieniami geometrii anabelowej. Referowany dowód pochodzi z książki "Cohomology of Number Fields", J.Neukirch, A.Schmidt, K.Wingberg

Clemens (w pracy C. H. Clemens, Double solids, Adv. Math. 47, 107–230 (1983)) podał wzór na liczby Bettiego (równoważnie liczby Hodge'a) rozwiązania osobliwości podwójnego nakrycia przestrzeni rzutowej $\mathbb P^3$ rozgałęzionego wzdłuż powierzchni stopnia parzystego. Zgodnie z tym wzorem liczby topologia badanych rozmaitości zależy nie tylko od stopnia powierzchni rozgałęzienia i liczby punktów osobliwych, ale również od ich pozycji. Podobne wzory w przypadku nodalnej powierzchni w $\mathbb P^4$ zostały udowodnione przez J. Wrrnera (w jego pracy doktorskiej). Oryginalne dowody Clemensa i Wernera były oparte o argumenty topologiczne, ale istnieją również dowody czysto algebraiczne. Konsekwencją dowodu algebraicznego jest wskazanie listy założeń (typu znikanie pewnych grup kohomologii) gwarantujących prawdziwość ich uogólnień. Głównym ograniczeniem w dotychczasowych uogólnieniach formuły defektu było znikanie pewnych grup kohomologii gwarantujących możliwość "podziału" długiego ciągu dokładnego kohomologii. Moim celem będzie pokazanie, że w pewnych przykładach (proste punkty potrójne na hiperpłaszczyźnie w $\mathbb P^4$, nodalne pełne przecięcia w $\mathbb P^5$) znikanie można zastąpić szczegółową analizą pewnych homomorfizmów.

Opowiemy o Alexandrze Grothendiecku (1928-2014) jednym z największych matematyków 20. wieku. Odmienił on nasze spojrzenie na matematykę. Jego szczególne dokonania związane są z analizą funkcjonalną, ale przede wszystkim z geometrią algebraiczną.

Podam uogólnienie formuły na defekt na przypadek przecięcia dwóch hiperpłaszczyzn w $\mathbb P^5$ oraz jej zastosowanie do badania pewnych rozmaitości Calabi-Yau z pracy Non-factorial nodal complete intersection threefolds. Commun. Contemp. Math. 15 (2013) (z S. Ramsem).

Przedstawię symboliczno-numeryczny algorytm aproksymacji algebraicznej odwzorowań analitycznych, których obraz zawarty jest w pewnej rozmaitości algebraicznej. Omówię model obliczeń właściwy dla tego algorytmu (wspólna praca z Peterem Scheiblechnerem).

Celem referatu będzie przedstawienie twierdzenia wraz z dowodem pochodzącym z monografii prof. Łojasiewicza Wstęp do geometrii analitycznej zespolonej. W miarę możliwości chciałabym krótko wspomnieć o innych dowodach tego twierdzenia, w tym o elementarnym dowodzie A. G. Khovanskiego przedstawionym w monografii: V.I.Arnold, S.M.Gusein-Zade, A.N.Varchenko Singularities of differentiable maps.

The period map from the GIT quotient of quartic surfaces to the Baily-Borel compactification of the relevant period space is birational but by no means regular. Question: can we write the period map as a composition of simple birational maps? Looijenga has developed a theory which provides such an answer in similar cases, but which is not successful in the case of quartics. I will present joint work with Radu Laza: our goal is to predict the correct decomposition for the period map of quartic surfaces and similar moduli spaces.

 

Przez trzy rozmaitość Calabiego-Yau będziemy rozumieć rzutową, jednospójną i zazwyczaj gładką trójwymiarową rozmaitość algebraiczną mającą trywialny dywizor kanoniczny. Ponadto będziemy zakładać, że rozmaitości te nie są zdegenerowane (tj. nie zawierają się w żadnej hiperpłaszczyźnie) i są arytmetycznie Cohena-Macaulay'a. Klasyfikacja takich rozmaitość jest znana do kowymiaru 3 i była możliwa głównie ze względu na istnienie pewnych ogólnych twierdzeń strukturalnych. Niestety w wyższych kowymiarach nie są jeszcze znane podobne narzędzia. Celem mojego referatu będzie wprowadzenie do tej tematyki. Ponadto chciałbym wskazać pewne podobieństwa pomiędzy rzutowymi pewnymi schematami Stanley'a-Reisner'a i naszymi rozmaitościami Calabi-Yau. Jeśli czas pozwoli to postaram się również przedstawić kilka wyników dotyczących klasyfikacji w kowymiarze 4. Referat będzie oparty na wspólnej pracy z G.Kapustką, M.Kapustką i S.Coughlanem oraz na własnych obserwacjach.