Many problems in algebraic geometry come down to computing dimensions of complete linear systems of divisors on an algebraic variety $X$; i.e., to computing dimensions of global sections of line bundles on an algebraic variety $X$. An interesting and informative special case of this is when there is a birational morphism $X \longrightarrow \mathbb P^2$. In this case computing dimensions of global sections of line bundles on $X$ is equivalent to computing Hilbert functions of ideals of fat point subschemes of $\mathbb P^2$ . This dual perspective allows one to bring to bear both geometric and algebraic methods for many problems of current research interest. We will use both perspectives to develop tools to explore a number of such problems which grow out of one fundamental open problem: what is the least degree of a plane algebraic curve with given singular points of specified multiplicity.

For K3 surfaces, the ample cone is cut out by rational curves of selfintersection -2. In the more general case of irreducible symplectic manifolds, a similar result can be phrased using certain divisors whose top self intersection is negative. This can be made fully explicit for Hilbert schemes of points on K3s and generalised Kummer manifolds.

Przypomnę kilka konstrukcji rozmaitości Calabi-Yau otrzymywanych jako rozwiązanie osobliwości ilorazu rozmaitości o trywialnej wiązce kanonicznej przez grupę skończoną (m.in. konstrukcję Borcea-Voisin i jej uogólnienia). Następnie przedyskutuję obliczanie liczb Hodge'a tego typu rozmaitości. Bardziej elementarną, ale często złożona obliczeniowo metodę polegającą na rozkładzie działania grupy na działanie grup cyklicznych i przedstawieniu rozmaitości jako iloraz rozdmuchania gładkiej rozmaitości oraz prostsze rachunkowo, ale znacznie obliczanie tzw. kohomologii Chena-Ruana.

Płaska krzywa ostrzowa to obraz odwzorowania $\mathbb P^1$ w $\mathbb P^2$, które jest 1-1 na domkniętych punktach. Problem klasyfikacji takich krzywych z dokładnością do rzutowej równowazności sięga lat pięćdziesiątych i w przypadku, gdy dopełnienie S takiej krzywej jest log ogólnego typu, wciąż jest szeroko otwarty. Niedawno K. Palka przedstawił nowe podejście do tego problemu, oparte na programie modeli log minimalnych prowadzonym dla pary $(X,1/2 D)$, gdzie $(X,D)$ jest gładkim uzupełnieniem S. Stosując to podejście, M. Koras i K. Palka udowodnili hipotezę Coolidge'a-Nagaty, mówiącą że kazda taka krzywa jest Cremona-równoważna prostej. Ważnym wnioskiem z tej metody jest fakt, że gdy S jest log ogólnego typu, to albo dopuszcza $\mathbb C^{**}$-rozwłóknienie, albo dla wspomnianego modelu minimalnego zachodzą silne kombinatoryczne ograniczenia. W referacie przedstawię klasyfikację krzywych ostrzowych, których dopełnienie jest $\mathbb C^{**}$-rozwłóknione. W szczególności pokażę, jak otrzymać te krzywe z układu linii na płaszczyźnie, udzielając tym samym, w tym przypadku, twierdzącej odpowiedzi na pytanie postawione przez T. tom Diecka i T. Petriego i hipotezy o sztywności pochodzące od Flennera i Zaidenberga. Referat będzie oparty na wynikach wspólnej pracy z K. Palką, które mam zamiar przedstawić w swojej pracy magisterskiej.

Nieporządkiem zbioru $n$-elementowego nazywamy permutację tego zbioru bez punktów stałych. $n$-tą liczbą nieporządków $D_n$ nazywamy liczbę wszystkich nieporządków zbioru $n$-elementowego. Ciąg $(D_n)_{n=0}^{+\infty}$ możemy zdefiniować wzorem rekurencyjnym: $D_0=1, D_n=nD_{n-1}+(-1)^n, n>0$. Łatwo wykazać, że $n-1|D_n$ dla każdej liczby naturalnej $n$. W niniejszym referacie udowodnię, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych $p$ o tej własności, że $p \left|\frac{D_n}{n-1}\right.$ dla pewnej liczby naturalnej $n\geq 2$. Do tego celu wykorzystam fakt, że ciąg reszt $(D_n\bmod{d})_{n=0}^{+\infty}$ jest okresowy dla $d\in\mathbb{N}_+$. Następnie podam opis waluacji $p$-adycznej ciągu liczb $\left(\frac{D_n}{n-1}\right)_{n\geq 2}$ dla liczby pierwszej $p$. Później przedstawię ciągi $\left(D_n^{(e)}\right)_{n=0}^{+\infty}$ i $\left(D_n^{(o)}\right)_{n=0}^{+\infty}$ liczb (odpowiednio) parzystych i nieparzystych nieporządków, tożsamości z nimi związane, podzielności i opis waluacji $p$-adycznej ciągów $\left(\frac{D_n^{(e)}}{n-1}\right)_{n\geq 2}$ i $\left(\frac{D_n^{(o)}}{n-1}\right)_{n\geq 2}$. Jeśli czas pozwoli, podam pewne równania diofantyczne związane z liczbami $D_n$, $D_n^{(e)}$ oraz $D_n^{(o)}$.

We shall define ZARISKI surfaces and manifolds of higher dimension. We shall describe the current status of knowledge about ZARISKI surfaces and manifolds including their birational Classification and their Picard group. We shall present the Blass Deligne Lang theorem about unique factorization domains constructed from such surfaces. We shall describe the recent solution by Mitsui of ZARISKI problem Going back to 1970. We shall offer a large number of open problems to inspire PhD level work and other collaboration. We shall outline links with Calabi-Yau Manifolds and with resolution of singularities in characteristic $p$ including the classical theory of adjoints. Finally we shall describe some recent work of Deligne and Bloch leading to the concept of a balanced map and liftability. Finally we shall introduce Fermat ZARISKI Diophantine Equations that combine FLT and ZARISKI surfaces with wide open significant problems. We shall present our ideas in the context of Grothendieck and Thom prerequisites will be included time permitting

Certainly the most important numerical invariant of an isolated hypersurface singularity is its Milnor number. This number contains a crucial information about the singularity. For non-isolated singularities, the Milnor number (which is always infinite) is no longer relevant. However, for such singularities, D. Massey introduced a series of polar invariants which generalize the data given by the Milnor number for an isolated singularity. These polar invariants are called the Lê numbers. In the first part of my talk, devoted to isolated singularities, I will review the basic theory of the Milnor number. In the second part, dedicated to non-isolated singularities, I will present Massey's theory of Lê numbers.

In 2004 Ciliberto and Di Gennaro conjectured that a nodal threefold of degree d in P4 with at most 2(d-2)(d-1) nodes is either factorial, contains a plane or contains a quadric surface. In this talk we present a proof for this conjecture if d is at least 7. We use techniques similar to the ones Voisin used in her proof for the fact that the two largest components of the Noether-Lefschetz locus of degree d surfaces in P3 are the components parametrizing surfaces containing a line or a conic.

It is well known that the cohomology of the moduli space $A_g$ of $g$-dimensional principally polarized abelian varieties stabilizes when the degree is smaller than $g$. This is a classical result of Borel on the stable cohomology of the symplectic group. By work of Charney and Lee, also the stable cohomology of the minimal compactification of $A_g$, the Satake compactification, is explicitly known. In this talk, we consider the stable cohomology of toroidal compactifications of $A_g$, concentrating on the perfect cone compactification and the matroidal partial compactification. We prove stability results for these compactifications and show that all stable cohomology is algebraic. This is joint work with S. Grushevsky and K. Hulek.

Omówimy klasyfikację $Q$-krzywych izogenicznych nad ciałem $F$ będącym roszerzeniem $\mathbb Q$ o $j$-niezmiennik. Zwrócimy uwagę na istotne dla nas własności ciała $F$ i wynikające z nich własności $Q$-krzywych izogenicznych nad $F$. Tym samym pokażemy, jak lokalne własności w miejscu $p$ $Q$-krzywych w tej samej klasie $F$-izogenii wyznaczonej przez charakter Heckego determinują te krzywe. W drugiej części referatu omówimy, jak wspomniane $Q$-krzywe różnią się globalnie w rzeczywistym uzupełnieniu ciała $F$, poprzez analizę wymiernych $p$-izogenii.

Na podstawie części 10, 11 książki B. Gross, Arithmetic on Elliptic Curves with Complex Multiplication, Lecture Notes in Mathematics, Volume 776, 1980.

Krzywa "opuszczona" (descended) do ciała F to krzywa eliptyczna która posiada mnożenie zespolone nad ciałem Hilberta $H$ ciała \(F\). Pokażemy że, podobnie jak dla krzywych nad H, klasę izogenii opuszczonej krzywej wyznacza charakter Hekkego, zaś klasa izomorfizmu, z dokładnością do sprzężenia, jest wyznaczona przez j-niezmiennik. Następnie wprowadzimy pojęcie Q-krzywej: jest to krzywa H-izogeniczna ze wszystkimi jej sprzężeniami przez grupę automorfizmów H. Pokażemy, że dla ciał kwadratowych o wyróżniku nieparzystym takie krzywe istnieją; co nie jest w ogólności prawdą gdy wyróżnik jest parzysty. 
Na podstawie części 10,11 książki B. Gross, Arithmetic on Elliptic Curves with Complex Multiplication, Lecture Notes in Mathematics Volume 776, 1980.

I will describe certain 3-folds of general type due to M. Kobayashi, which are fibrations of surfaces over a curve. These examples are particularly interesting from the viewpoint of the geography of invariants. Then I will discuss ways to generalise Kobayashi’s construction, combining some classical ideas with techniques of the minimal model program and stable surfaces. 

I will discuss some geometric properties of the rigid Calabi–Yau threefold $\mathcal Z$, introduced by Beauville. First, we describe the cohomology of $\mathcal Z$ and give a simple formula for the trilinear intersection form on $\operatorname{Pic}(\mathcal Z)$. By contracting some curves on Z and smoothing the resulting variety, we obtain other non rigid Calabi–Yau threefolds (joint work with A. Garbagnati). In the second part of the talk I will discuss a specific Hodge structure of Calabi–Yau type of weight 3 (joint work with S.L. Cacciatori) and explain how it possibly relates to a generalized mirror of $\mathcal Z$.

Będziemy rozwijać teorię mnożenia zespolonego na krzywej eliptycznej. Jako główny wynik pokażemy twierdzenie klasyfikujące krzywe z zadanym mnożeniem zespolonym nad ciałem Hilberta odpowiedniego ciała z wykorzystaniem j-niezmiennika i charakteru Heckego.
Na podstawie części 9. książki: B. Gross, Arithmetic on Elliptic Curves with Complex Multiplication, Lecture Notes in Mathematics, Volume 776, 1980.

Wprowadzimy pojęcie reprezentacji $l$-adycznej Galois i zdefiniujemy globalny $L$-szereg krzywej eliptycznej, który jest niezmiennikiem izogenii. Zdefiniujemy ponadto charakter Heckego i pokażemy jego związek z reprezentacjami Galois oraz $L$-szeregiem krzywej eliptycznej.
Na podstawie części 7, 8 książki B. Gross, Arithmetic on Elliptic Curves with Complex Multiplication, Lecture Notes in Mathematics, Volume 776, 1980.

The Campana-Peternell conjecture states that the only Fano manifolds with nef tangent bundle are rational homogeneous. The conjecture is known to be true in dimension smaller than or equal to four. In this talk we will give an alternative proof of this fact, and show how our methods may help to a possible proof of the general conjecture. These results belong to a joint project with R. Muñoz, G. Occhetta and K. Watanabe.

Wprowadzimy pojęcie reprezentacji $l$-adycznej Galois i zdefiniujemy globalny $L$-szereg krzywej eliptycznej, który jest niezmiennikiem izogenii. Zdefiniujemy ponadto charakter Heckego i pokażemy jego związek z reprezentacjami Galois oraz $L$-szeregiem krzywej eliptycznej.
Na podstawie części 7, 8 książki B. Gross, Arithmetic on Elliptic Curves with Complex Multiplication, Lecture Notes in Mathematics, Volume 776, 1980.

We wspólnej pracy z Jarosławem Wiśniewskim [DBW14] badamy osobliwość ilorazową $\mathbb C^4/G$ dla 32-elementowej grupy $G$ generowanej przez macierze Diraca. Istnienie symplektycznego rozwiązania tej osobliwości zostało udowodnione w sposób niekonstruktywny przez Bellamy’ego i Schedlera, [BS13]. Podajemy konstrukcję wszystkich rozwiązań symplektycznych w oparciu o teorię pierścieni Coxa rozmaitości algebraicznych, [ADHL10]. Okazuje się, że pierścień $\operatorname{Cox}(X)$ rozwiązania symplektycznego $X$ osobliwości $\mathbb C^4/G$ można opisać bez znajomości bezpośredniej konstrukcji $X$. Następnie wszystkie rozwiązania tej osobliwości otrzymuje się jako ilorazy GIT spektrum $\operatorname{Cox}(X)$. Rozwiązania te mogą być użyte do przeprowadzenia uogólnionej konstrukcji Kummera, zob. [AW10]; otrzymuje się w ten sposób zwartą rozmaitość hyperkählerowską.Literatura
[ADHL10] Ivan Arzhantsev, Ulrich Derenthal, Jürgen Hausen, and Antonio Laface, Cox Rings, arXiv:1003.4229 [math.AG] (2010).
[AW10] Marco Andreatta and Jarosław A. Wiśniewski, On the Kummer Construction, Rev. Mat. Complut. 23 (2010), 191–251.
[BS13] Gwyn Bellamy and Travis Schedler, A new linear quotient of C4 admitting a symplectic resolution, Math. Z. 273 (2013), no. 3-4, 753–769. MR 3030675
[DBW14] Maria Donten-Bury and Jarosław A. Wiśniewski, On 81 symplectic resolutions of a 4-dimensional quotient by a group of order 32, arXiv:1409.4204 [math.AG] (2014).

Zdefiniujemy pojęcie mnożenia zespolonego dla krzywych eliptycznych nad C oraz powiemy o jego związku z ciałem klas Hilberta dla ciał kwadratowych urojonych. Zdefiniujemy też pojęcia dobrej i złej redukcji dla krzywych eliptycznych nad skoń- czonym rozszerzeniem ciała liczb p–adycznych. Na podstawie częsci 5, 6 ksiażki B. Gross, Arithmetic on Elliptic Curves with Complex Multiplication, Lecture Notes in Mathematics Volume 776, 1980.

Wstępne informacje o krzywych eliptycznych Przedstawione będę definicje i podstawowe własności krzywych eliptycznych,
Na podstawie części 3, 4 ksiażki B. Gross, Arithmetic on Elliptic Curves with Complex Multiplication, Lecture Notes in Mathematics Volume 776, 1980.

Rozmaitości Mukai są specjalnymi rozmaitościami Fano o tzw indeksie 3. Ich klasyfikacja przedstawiona przez Mukai oraz Mellę stanowi punkt wyjściowy do badania wszelkich własności rozmaitości Fano ale także powierzchni K3 niskiego genusu. W referacie przedstawię podstawowe wyniki dotyczące rozmaitości Mukai. Następnie pokaże powiązania pomiędzy cięciami liniowymi różnych rozmaitości Mukai oraz ich konsekwencje w teorii przestrzeni moduli wiązek na powierzchniach K3

Zdefiniuję oraz pokażę istnienie asymptotycznej funkcji Hilberta oraz asymptotycznego wielomianu Hilberta pewnych rodzin ideałów. Pokażę zastosowanie tego niezmiennika do obliczania tzw. limiting shapes.